设f(x)的一个原函数为x²lnx,则∫xf′(x)dx=

Question

如题所述

Answer 1

xf'(x)+f(x)=(lnx)/x
[xf(x)]'=(lnx)/x
积分：xf(x)=∫(lnx)/x dx=∫lnxd(lnx)=(lnx)²/2+C
即f(x)=(ln²x)/(2x)+C/x
代入f(e)=1/(2e)+C/e=1/e, 得：C=1/2
即f(x)=(1+ln²x)/(2x)
代入原方程得：
x²f'(x)+(1+ln²x)/2=lnx
得f'(x)=(2lnx-ln²x-1)/(2x²)=-(lnx-1)²/(2x²)<=0
因此f(x)在定义域x>0单调减。