为什么arctanx和x是等价的？

Question

如题所述

Answer 1

当x趋近于0时，可以使用泰勒级数展开来分析arctanx和x的等价性。

首先，我们知道arctanx的泰勒级数展开为：

arctanx = x - (1/3)x^3 + (1/5)x^5 - (1/7)x^7 + ...

而x的泰勒级数展开为：

x = x

当x趋近于0时，高次幂的项会趋近于0，因此我们可以忽略掉它们。所以，当x趋近于0时，arctanx和x的等价性可以近似表示为：

arctanx - x ≈ 0

也就是说，当x趋近于0时，arctanx和x是等价的。

这个结论可以通过数值计算验证，当x取非常接近于0的数值时，我们可以发现arctanx - x的值非常接近于0。