高等数学，面积题？

Question

是0吗？

Answer 1

面积题计算结果等于零对吗？

显然面积计算等于零是错误的。错误的原因是没有完全理解定积分的几何意义，即∫f(x)dx（积分下限为a,积分上限为b）——由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b，及x轴所围的曲边梯形面积代数和，其中图形在x轴上方取‘+’，下方取‘-’。

所以，题主的问题应该这样求解。

x【-1,0】区间的面积为

S1=-∫(-1,0)xdx=1/2

x【0,1】区间的面积为

S2=∫(0,1)xdx=1/2

因此，该题的面积为

S=S1+S2=1/2+1/2=1

Answer 2

要避免直接把定积分和“面积”等价起来，这显然不等于0，既然有明显的矛盾，肯定是理解错误导致的
定积分是从下限到上限之间的“有向面积”，是和几何的面积不是一个东西，
如果你总以x轴为下限，y为定积分上限，则在x轴上方的有向面积和几何面积相等，在x轴下方的定积分（有向面积）是几何面积的相反数。集合面积等于x轴上方的定积分-x轴下方的定积分
另外一种方法就是在计算定积分时定积分的下限总是在区域的下方，而上限总是区域的下方。对于你题目，左侧阴影的上限是y=0,下限是y=x本回答被提问者采纳

Answer 3

定积分是 0， 面积则为 x 轴上面积的 2 倍。
定积分 I = ∫<-1, 1>xdx = 0
阴影部分面积 S = ∫<-1, 1>|x|dx = 2∫<0, 1>xdx = [x^2]<0, 1> = 1