微分方程问题，哪位大佬能给出图片13题的详细解答

Question

如题所述

Answer 1

t=tanx，dx=dt/（1+t²）,dt/dx=1+t²
cos²x=cos²x/（cos²x+sin²x）=1/（1+tan²x）=1/（1+t²）
cos^4(x)=1/（1+t²）²
sin2x==2sinxcosx/（cos²x+sin²x）=2t/（1+t²）
y'=dy/dx=dy/dt.dt/dx=（1+t²）dy/dt
y''=dy'/dx=dy'/dt.dt/dx=(1+t²）dy'/dt
=(1+t²）（2tdy/dt+（1+t²）d²y/dt²）
=2t(1+t²）dy/dt+（1+t²）²d²y/dt²
代入：

1/（1+t²）².[2t(1+t²）dy/dt+（1+t²）²d²y/dt²]+1/（1+t²）.(2-2t/(1+t²））（1+t²）dy/dt+y=t
1/（1+t²）.[2tdy/dt+（1+t²）d²y/dt²]+(2-2t/(1+t²））dy/dt+y=t
2t/（1+t²）dy/dt+d²y/dt²+2dy/dt-2t/(1+t²）.dy/dt+y=t
d²y/dt²+2dy/dt+y=t
齐次式：
d²y/dt²+2dy/dt+y=0
特征方程
r²+2r+1=0，二重跟r=-1
齐次方程通解
y=（Ct+D）e^(-t)
y't=Ce^(-t)-（Ct+D）e^(-t)
y''t=-Ce^(-t)-Ce^(-t)+（Ct+D）e^(-t)=-2Ce^(-t)+（Ct+D）e^(-t)
y''t+2y't+y=-2Ce^(-t)+（Ct+D）e^(-t)+2Ce^(-t)-2（Ct+D）e^(-t)+（Ct+D）e^(-t)
=-2Ce^(-t)+（Ct+D）e^(-t)+2Ce^(-t)-2（Ct+D）e^(-t)+（Ct+D）e^(-t)=0
正确。
求特解，变C、D为t的变量
y=Cte^(-t)+De^(-t)
y't=C'e^(-t)+Ce^(-t)-Cte^(-t)+D'e^(-t)-De^(-t)
y''t=C''e^(-t)-C'e^(-t)

+C'e^(-t)-Ce^(-t)
-C'te^(-t)-Ce^(-t)+Cte^(-t)
+D''e^(-t)-D'e^(-t)
-D'e^(-t)+De^(-t)
=C''e^(-t)-2Ce^(-t)-C'te^(-t)+Cte^(-t)+D''e^(-t)-2D'e^(-t)+De^(-t)

y''t+2y't+y=C''e^(-t)-2Ce^(-t)-C'te^(-t)+Cte^(-t)+D''e^(-t)-2D'e^(-t)+De^(-t)
+2C'e^(-t)+2Ce^(-t)-2Cte^(-t)+2D'e^(-t)-2De^(-t)+Cte^(-t)+De^(-t)
=C''e^(-t)-C'te^(-t)+D''e^(-t)+2C'e^(-t)=t
令C=常数，D''e^(-t)=t
D''=te^t
D'=∫te^tdt=te^t+e^t
D=te^t+e^t+e^t=te^t+2e^t
代入，取C=0，
yt=Cte^(-t)+（te^t+2e^t）e^(-t)
=t+E
这是特解：
y'=1,y''=0
y''+2y'+y=0+2+(t+E)=t,E=-2,特解y=t-2
通解yt=Cte^(-t)+De^(-t)+t-2
=Ctanxe^(-tanx)+De^(-tanx)+tanx-2

Answer 2

这样子

追答

微分方程你就自己解吧

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