函数中的周期性究竟如何理解？例如f (x)=x+2的周期为何是2?再如f (x+2)=- f（2x-3）的周期是如何求得的?谢

Question

如题所述

Answer 1

例如f (x)=x+2的周期为何是2?

应该是
f (x)=f(x+2)吧？

f (x+2)=- f(2x-3) 这个函数不一定是周期函数，如果是，那么必然存在一个数T

使得
f(x)=f(x+T)
由式f (x+2)=- f(2x-3)得到
做变量代换 令t=x+2有x=t-2
则
f(t)=-f(2t-7)
从这个式子并不能得到周期这个函数是周期函数的结论。

周期性，就是隔一段距离，再次重复之前的取值。
f(x) 在x处取值,始终和与x相距T处的取值相等。追问

那吗如果是f (x)=sin（2x+5π）的周期怎样求

追答

始终围绕：f(x)=f(x+T)展开
sin(2x+5π)
sinx 的周期是2π
因此有
sin(2x+5π)
=sin[(2x+5π)+2π]
这个2π是sinx的周期
将它变成f(x)的周期，则需要将其转到只针对x的状态去
即有
f(x)=sin(2x+5π)
=sin(2x+5π+2π)
=sin[2(x+π)+5π]
因而
f(x)=f(x+π)
即f(x)=sin（2x+5π）
的周期为 π
如你猜想，对于三角函数
f(x)=Asin(ωx+φ)+B
其周期为2π/ω
它的周期与A，φ，B 都没有关系，只与ω有关。