估计曲线所围部分面积的方法有哪几种

Question

如题所述

Answer 1

是有多种的解答方式。
假设平面上一条简单封闭曲线由以下参数方程给出：{x=f(t)y=g(t)其中参数t位于某个区间[a,b]上，即f(a)=f(b),g(a)=g(b)。现在的问题是，求该封闭曲线围成的区域的面积。通常的解决思路是使用Green公式：_D(_Q_x__P_y)dxdy=∮_DPdx+Qdy(2)它告诉我们面积分和线积分可以相互转化。
当_Q_x__P_y=1时，左边就是求区域内的面积。满足这样的P,Q有很多，如Q=x,P=0，那么_Ddxdy=∮_Dxdy=∫baf(t)g′(t)dt(3)由此可见，换用不同的P,Q，可以构造出各种各样的计算面积的公式，其中，在很多情形会相对方便一些的公式是
_Ddxdy=12∮_D_ydx+xdy=12∫ba[f(t)g′(t)_g(t)f′(t)]dt(4)因为它对于过原点的直线的积分自动为0。