Dn=sin(n+1)θ/sinθ
证明:
按第1列展开得: Dn=2cosθD(n-1) - D(n-2).
下用归纳法证明
当n=1时, D1=2cosθ
sin(n+1)θ/sinθ=sin2θ/sinθ=2cosθ.
所以n=1时结论成立,即D1=sin(1+1)θ/sinθ.
假设k<n时结论成立, 则k=n时
Dn=2cosθD(n-1) - D(n-2)
=2cosθsin(n-1+1)θ/sinθ - sin(n-2+1)θ/sinθ
=2cosθsinnθ/sinθ - sin(n-1)θ/sinθ
=[2cosθsinnθ - sin(n-1)θ]/sinθ
= ......
= sin(n+1)θ/sinθ
所以k=n时结论也成立.
综上可知, 对任意自然数n, Dn=sin(n+1)θ/sinθ.
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