如何用行列式计算n阶行列式？

Question

如题所述

Answer 1

按最后一列展开，
D(n)＝nD(n-1)＋(-1)ⁿ-¹C(n-1)，
然后 C(n-1) 按最后一行展开，
展开后是对角阵，所以
D(n)＝nD(n-1)＋(-1)ⁿ-¹ * (-1)ⁿ * (-1) * (n-1)！
＝nD(n-1)＋(n-1)！，
两边除以 n！，得
D(n)/n！＝D(n-1)/(n-1)！＋1/n，
累加法可得
D(n)/n！＝1/n＋1/(n-1)＋....＋D(1)＋1/2
＝∑(k＝1 --> n) (1/k)，
所以原式＝D(n)
＝n！* ∑(k＝1 --> n) (1/k)
＝n！* (1＋1/2＋1/3＋....＋1/n) 。