设向量组A:a1,a2...an的秩为r(r<n),则任意r个向量线性无关的充要条件是：对于任意的向量

Question

设向量组A:a1,a2...an的秩为r(r<n),则任意r个向量线性无关的充要条件是：对于任意的向量ai1,ai2,...ai(r+1)若k1ai1+k2ai2+...+kiai(r+1)=0则k1,k2...kn或全为零或全部为零。
谢谢老师！

Answer 1

哈哈 解决了 就是开始看起来吓人

(=>) 设k1ai1+k2ai2+...+k(r+1)ai(r+1)=0
反证. 不妨设k1=0,k2≠0.
则 k2ai2+...+k(r+1)ai(r+1)=0
所以 ai2,...,ai(r+1) 这r个向量线性相关
与已知矛盾.
(<=) 反证. 若有r个向量ai1,ai2,...air线性相关
则存在不全为0的数使得 k1ai1+k2ai2+...+krair=0
因为r<n, 则至少有一向量不在这个向量组中, 设为β
则有 k1ai1+k2ai2+...+krair+0β=0
这与已知矛盾.来自：求助得到的回答