如何快速判断一个函数是奇函数还是偶函数、以及增函数和减函数？

Question

如题所述

Answer 1

按定义来说：对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都满足f(x)=f(-x)
所以,一般来说判断一个函数是奇函数还是偶函数必须要将定义域中的的所有数带入,这肯定不可能的.
那么我们可以先看看定义域,奇偶函数的定义域必须是对称的,一个函数的定义域若不是对称的,那么就不用判断了,肯定不是.这个基本一看就能看出.
定义域对称,这时候要判断奇偶性,首先是利用公式,若能推出f(x)=f(-x)
或者f(x)=-f(-x),那么就可以判定了.所以若是有表达式,一般是将-x带入.
还有可以看图像,看图象是否关于原点对称（此为奇函数）或关于y轴对称（此为偶函数）.
若以上两种都没有判断出奇偶,一般就很可能是非奇非偶函数了.不过考虑有的函数表达式复杂,f(x)=f(-x)
或者f(x)=-f(-x)难以推断,我们也可以将之分解,化成几个函数相加减或乘除的形式,然后根据各自的奇偶性再判断.当然这时要记住奇函数、偶函数相加减或乘除之后的奇偶变化.

Answer 2

数学教材中的方法是最基本的也是最简便的：
判断奇偶函数就根据定义：
若f(-x)=f(x)，则可以确定它为偶函数，偶函数关于y轴对称。
若f(-x)=-f(x)，则为奇函数。奇函数关于原点中心对称。
判断增函数和减函数。有定义法和导数法：
（1）定义法：
基本步骤都是先设：x1<x2
在计算
f(x1)-f(x2)
若
f(x1)-f(x2）>0
,则可以确定它是减函数。
若
f(x1)-f(x2)
<0，则可以确定它是增函数。
（2）导数法
对f(x)求导，若
f'(x)>0则为增函数，
f'(x)<0则为减函数。
希望这些对你有利，高中学习还是多多注重课本的知识。
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Answer 3

解析：
对于一元函数y=f(x)，讨论其奇偶性时，需从两方面入手：1，定义域是否关于原点对称；2，在满足条件1的情况下，看是否满足f(x)=f(-x)(偶函数)或者f(x)=-f(-x)(奇函数)。
对于一元函数y=f(x)，讨论其增减性时可以有多种方式求证：
1，定义法。例如：在定义域内，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则此函数在定义域内为单调增函数。
2，复合函数法。我们有口诀：同增异减。例如：y=f(t)，t=t(x)，即y=f(t(x))。如果t是x的单调增函数(在定义域内)且y是t的单调增函数(在定义域内)，那么y是x的单调增函数；如果t是x的单调增函数(在定义域内)且y是t的单调减函数(在定义域内)，那么y是x的单调减函数。
3，导数法。
如果有误，请指正！
谢谢！