二元函数在某点连续，为什么不能推出该函数在该点可偏导？

Question

如题所述

Answer 1

函数连续，只能表示函数图形没有间断，但不能表示一元函数没有尖点，
也就是说不能表示一元函数图形光滑；同样地，连续不能保证二元函数
没有皱褶，也就是不能保证二元函数光滑。

可导表示一元函数在某点的两侧的斜率一样，在绝对值函数 |x| 图形上，
在 x = 0 的两侧，一侧的斜率是 +1，另一侧的斜率是 -1，我们就说它
在 x = 0 处不可导。

在英文中，differentiable ，翻译成中文时，人为地加进了〖可导〗、〖可微〗
的区别，英文中没有这样的区别。汉语中，在所有的方向可导才算可微。英文
都用differentiable，只要在它的后面表明是所有方向，还是特别方向。

既然在中国读书，就只能用中国的解释。函数在某点连续，只能说该点不是一
个洞，但是不能表示从该点往各个方向的斜线的斜率是连续的。譬如将一张纸
折成一个金字塔，塔顶没有漏洞，就说在塔顶是连续的。但是从塔顶望四个方
向有四个不同的斜率，所以，在塔顶只是连续的点，但不可导的点，更不是可
微的点。

假如将一个西瓜切成对称的两半，在瓜皮跟横切面相交的圆周上的任选一点P，
只要不往西瓜剖面方向考虑，所有的切线的斜率都是连续变化的。但是往剖面
方向考虑时，斜率就不连续了，所以，P点只是连续点。沿着尚存的西瓜皮的
任何方向考虑都是可导的，但不是可微的。因为沿着剖面的方向，斜率发生了
突变。

欢迎追问。