单调有界原理如下：
一、单调有界原理的表述：
单调有界原理可以分为两个版本，一个是单调递增数列的版本，另一个是单调递减数列的版本。
下面分别给出这两个版本的表述：
1. 单调递增数列版本：
如果实数数列 {a_n} 是单调递增的（即对于所有的 n，都有 a_n ≤ a_(n+1)）并且有上界（存在一个实数 M，对于所有的 n，都有 a_n ≤ M），那么这个数列 {a_n} 收敛，即存在一个实数 L，使得 lim(n→∞) a_n = L。
2. 单调递减数列版本：
如果实数数列 {b_n} 是单调递减的（即对于所有的 n，都有 b_(n+1) ≤ b_n）并且有下界（存在一个实数 m，对于所有的 n，都有 m ≤ b_n），那么这个数列 {b_n} 收敛，即存在一个实数 L，使得 lim(n→∞) b_n = L。
二、单调有界原理的重要性：
单调有界原理在实分析和数学分析中起到了至关重要的作用，它的重要性体现在以下几个方面：
1. 收敛性证明： 单调有界原理为证明某个数列的收敛性提供了一种非常有力的方法。通过证明数列是单调递增或单调递减，并且有上界或下界，可以确定该数列的极限存在。
2. 极限的计算： 单调有界原理可以用来计算某些特定数列的极限。例如，在数学分析中，可以利用这个原理来计算一些常见数列的极限，如调和级数。
3. 数学证明： 单调有界原理在数学证明中经常被用作基本工具。它可以帮助证明许多数学命题和定理，包括实数完备性的证明。
4. 应用领域： 单调有界原理不仅在数学中有重要应用，还在工程、物理、经济学等多个领域中有广泛应用。它有助于分析和解决实际问题中涉及到的数列和极限性质。
下面举一个简单的例子来说明单调有界原理的应用。考虑数列 a_n = 1/n，它是一个单调递减数列，并且有下界 0，因此根据单调有界原理，可以得出这个数列收敛。其极限是：
lim(n→∞) (1/n) = 0
这个例子展示了如何使用单调有界原理来证明数列的收敛性和计算其极限。