已知f(x)是定义域在R上的偶函数g(x)是定义域在R上的奇函数，且g(x)=f(x-1)，则f(

Question

已知f(x)是定义域在R上的偶函数g(x)是定义域在R上的奇函数，且g(x)=f(x-1)，则f(2013)+f(2015)的值为？

Answer 1

解由g(x)=f(x-1)，
得g(-x)=f(-x-1)，
又有g（-x）=-g（x）
即f(-x-1)=-f（x-1）
即f(-（x+1)）=-f（x-1）
即f（x+1)=-f（x-1）
即f（x+2）=-f（x）
即f（x+4）=f（x+2+2）
=-f（x+2）
=-（-f（x））
=f（x）
即T=4
即f（2013）+f（2015）
=f（503×4+1）+f（503×4+3）
=f（1）+f（3)
=f(1)+f(3-4)
=f(1)+f(-1)
=f（1）+f（1）
=2f（1）
g(x)是定义域在R上的奇函数
即g(0)=0
又有g(x)=f(x-1)，
当x=0时，g（0）=f（0-1）=f（-1）=f（1)=0
即f（2013）+f（2015）=2f（1）=0

Answer 2

对任意的整数n,有
f(2n-1)=g(2n)= -g(-2n)
= - f(-2n-1)= - f[-(2n+1)]
= - f(2n+1)
(这里第一个和第三个等号用到了题设g(x)=f(x-1); 第2个等号是因为g是奇函数;第5个等号是因为f是偶函数)

所以 f(2n-1)+ f(2n+1)=0
故当n=1007时,有
f(2013)+f(2015)=0

Answer 3

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