勾股数公式?

Question

如题所述

Answer 1

在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。 \n\n满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 \n\n例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 \n\n1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 \n\n\n\n\n\nc=2+9+6=17。 \n\n则8、15、17便是一组勾股数。 \n\n证明： \n\n\n\n\n\n∴a、b、c构成一组勾股数 \n\n2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 \n\na=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 \n\n例如：当m=4，n=3时， \n\na=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 \n\n则7、24、25便是一组勾股数。 \n\n证明： \n\n∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 \n\n=m4-2m2n2+n4+4m2n2 \n\n=m4+2m2n2+4n2 \n\n=(m2+n2)2 \n\n=c2 \n\n∴a、b、c构成一组勾股数。 \n\n3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 \n\n首先观察已知数是奇数还是偶数。 \n\n(1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 \n\n例如9是勾股数中的一个数， \n\n\n\n那么9、40、41便是一组勾股数。 \n\n证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 \n\n\n\n\n\n\n\n(2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 \n\n例如8是勾股数组中的一个数。 \n\n\n\n那么8、15，17便是一组勾股数。 \n\n证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 \n\n∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 \n\n=n4+2n2+1 \n\n=(n2+1)2 \n\n∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。

Answer 2

a^2+b^2=c^2a，b为直角边边长，c为斜边边长3，4，5；5，12，13；是常考的勾股数。

Answer 3

如果m表示大于1的整数，那么a=2m，b=m�0�5-1，c=m�0�5+1，则a、b、c是一组勾股数

Answer 4

ab为直角边，c为斜边c*c=a*a+b*b

Answer 5

　在数学中，勾股定理是一个非常重要的定理，满足勾股定理的正整数组解称为勾股数或勾股弦数，求勾股数或勾股弦数组的解法也具有重大的科学价值。早在大约公元前1900年到公元前l600年之间古巴比伦人就掌握了多组勾股弦数，近两千年来人们对“勾股弦数公式”的探索取得了辉煌成就。
　　古代的勾股弦数公式代数表达式经笔者总结可分为两种类型：一是：平方式；二是：多项式。通常勾股定理表示为：a2
+
b2
=
c2
，给出a、b、c正整数组解的代数表达式即为勾股弦数公式。现收集如下：
　　（1）、平方根
　　1.1、a
=
2mn；b
=
m2—
n2
；c
=
m2
+
n2
（m
＞n）
　　1.2、a∶b∶c
=
mn∶（m2
—
n2
）/2
∶（m2
+
n2
）/2
（m、n为奇数）
　　1.3、a
=
2m；b
=
m2
—1；c
=
m2
+
1（m为偶数）
　　1.4、a
=
m；b
=（m2
—
1）/2；c
=（m2+
1）/2
（m为奇数）
　　（2）、多项式：
　　2.1、a=2m
+1；b
=
2m2
+
2m；c=2m2+
2m
+
1（m为正整数）
　　2.2、a=√2mn
+n；b
=
√2mn
+
m；c
=
√2mn
+m
+
n
（2mn为完全平方数）
　　具有关资料介绍：1.1式是古希腊数学家丢番图（Diophantus，约330－246）给出的全部勾股数组解，但是他如何得到这组公式，人们至今也无从知晓；1.2式是我国古代数学巨著《九章算术》中提出的一组求勾股数公式；1.3式是柏拉图（Plato，约前427－前347）给出的一组公式；1.4式是毕达哥拉斯学派给出的。这四个公式称其为“平方式”，是因为它们一个解值（a）用两个代数（m、n，2.3式、2.4式中n
=
1）之积表示，另两个解值（b、c）则是这两个代数（m、n）的平方差与平方和，只不过a数存在奇偶之别。2.1式与2.2式有资料说也是毕达哥拉斯学派和丢番图给出的。
　　这些古代人流传下来的勾股弦数公式存在一个迷案：没有一般求解方法。总结分析古人得到勾股弦数公式笔者认为可有两种特殊方法：一是“规律”法，以具体的一些勾股数特殊规律给出的，如1.3式、2.1式等；就象某一数列已知前几项的特殊规律可给出以后项的通项公式一样，这种方法难免有局限性。二是“试算”法，历来的数学资料中没有这一说，只是笔者这里猜测的。1.1式怎么得到的无人知晓，那么这类公式是不是用某种方法试算出来的呢？比如用完全平方式：
（S
+G）2
=
S2
+
2SG
+
G2=
S2
+
2SG
+
G2
+
2SG
–
2SG
=（S
–
G）2
+（2√SG）2
　　如果其中（S
，G）=
1，SG是完全平方数，则√SG是正整数，令：S
=
s2、G
=
g2，则上式可得（s2
+
g2）=（s2—g2）2+（2sg）2
　　这就是1.1式的形式。将这个等式与勾股弦数联系起来古代那时侯就是奇迹了，2.2式也可以类似试算出来；——当然这是猜测而已。无论这类公式是怎么得来的，都是一种经验性的。所以这些古人给出的公式后人有称是“构造”的，但后人也证明了是正确的。现在所谓破解“勾股弦数公式”
千古构造之迷就是要展示勾股弦数公式能用一般代数方法求解，从理论上根本完结其定理的一般性证明。
　　1〗、平方式的证明
——
倒数法
　　【笔者用设互为倒数的方法求得了与古代人构造出来相同的求解勾股数公式。参见《中国数学在线
数学论坛
推荐帖》*《悬赏10，000元人民币
否定一个数学证题
*
悬赏第三次再声明》中《关于
xn+
yn
=
zn问题的初等数学证明》。网址：
http://www.mathfan.com/H6.aspx？F=/CMS/Search/List.P6&；T=BBS_&Key=SYS.%E8%AE%A8%E8%AE%BA】
　　现简要介绍如下：由a2+
b2
=
c2变形为（c
/
a–b
/
a
）（c
/
a
+
b
/
a
）=
1并设：
　　c
/
a
–b
/
a
=
n
/
m
c
/
a
+
b
/
a
=
m
/
n
　　解上方程组，分析y为偶数或奇数时有两种情形的解，即求解勾股数公式：
　　a为偶数：a=
2mn；b
=
m2-
n2；c=
m2+
n2
　　a为奇数：a=
mn；b
=
（m2—
n2）/2；c=（m2
+
n2）/2
　　当a为偶数时正是1.1式和1.3式（n
=
1），当a为奇数时正是1.2式和1.4式
（n
=
1）
.因为（c
/
a
–
b
/
a）（c
/
a
+
b
/
a
）=（n
/
m）*（
m
/
n）=
1，m、n（容易证明必有m
＞
n）是任意正整数，所以这两个勾股数公式能求得全部勾股数组。这种转化为互为倒数求解勾股弦数公式的方法叫“倒数法”。事实上，a为偶数时即1.1式m、n取奇偶数或同取奇数以及取任意正整数这时不过会有
（a，b，c）≥
1，如果除去公约数，便可求得全部基本勾股数组解；因而，只用1.1式a不限定奇偶数条件就足够了
　　2〗、多项式的证明
——
拆分法
　　【笔者于2006年5月发表的《最新证明的求解勾股弦数公式》一文，对a2+
b2=
c2这一不定方程，以a为求解对象，以b、c为相对即定条件将这两个数进行拆分，有正整数a2+（t
+
d）2=（a
+
d）2等式成立，分析确定a及b、c的解，所得a、b、c组的代数解值，即为最新求得不同于从前的勾股弦数公式。详见《中国数学在线
数学论坛
数论》*《最新证明的求解勾股弦数公式》。网址：
http://www.mathfan.com/H6.aspx？F=/Search/List.P6&；T=BBS_&Key=%E6%95%B0%E8%AE%BA】
　　简要介绍如下：a2+（t
+
d）2=（a
+
d）2
　　t2+2td—2ad
=
0
　　t2/
2d
+
t
—a
=
0根据约束条件分析，设t
=2mn、d
=
2m2代入上式得
　　（2mn）2/
2*2m2
+2mn—a
=
0
　　n2+2mn-
a
=
0
　　即求出a、b
=
t
+
d
、c
=
a
+d的数组解值式，其是多项式公式，承〖2〗列为2.3式：
　　2.3、a
=
2mn
+
n2；b
=
2mn
+
2m2；c
=
2mn
+
2m2
+
n2
（m、n为任意正整数）
　　此2.3式，令n
=
1则是2.1式；令n2=
N、2m2=
M、2mn
=√2MN，则有
　　a
=
M
+√2MN；b
=
N
+√2MN；c
=
M
+
N
+
√2MN
　　这个变式即是2.2式的表达形式。因而，2.3式是2.1式、2.2式的统一表达形式；2.1式、2.2式是2.3式的特例，如果令N
=
1，2.2式也可以求得2.1式。求解2.3式勾股弦数公式是以等式条件的规则将其中相关项数拆分开，这种方法称为“拆分法”。在分析求证过程中最后设定的m、n是任意正整数，包括m
=
n，所以这个公式也能求得全部勾股数组解
　　3〗、“倒数法”与“拆分法”求得勾股弦数公式的意义和关系
　　两者的同一个重要意义就是用一般的代数方法求得了一般性的勾股弦数公式，而古代流传下来的“公式”是依据具体的勾股数规律给出的，后人称“构造”的，只体现了某种特殊性，不具备一般性。两者又有不同的重要意义：倒数法求得的勾股弦数公式虽然与古人的相同（1.1式），但这说明了这个公式能够求解得到，明确了其正确的来源途径；拆分法求得的勾股弦数公式以一般性囊括了特殊性的多项式公式。总之，勾股弦数公式有了一般性的求解方法，从而证明了这个公式具有一般性的定理。
　　1.1式和2.3式都能求得全部勾股数组解，那么二者之间存在什么关系呢？将2.3式项进行调理：
　　a
=
2mn
+
n2=
2mn
+
n2+
m2—
m2
=（m
+n）2–
m2
　　b
=
2mn
+
2m2=
2m（n
+
m）
　　c
=
2mn
+
2m2+
n2=（m
+
n）2+
m2
　　令Q
=
m
+
n，则a
=
Q2
–
m2，b
=
2Qm
，c
=
Q2+m2