第1个回答 2013-08-20
极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 用导数判别f(x0)是极大、极小值的思路: 若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“左正右负”，则 是 的极大值点， 是极大值；如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的极小值点， 是极小值 求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值 在闭区间 上连续的函数 在 上必有最大值与最小值；在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 利用导数求函数的最值步骤:⑴求 在 内的极值；⑵将 的各极值与 、 比较得出函数 在 上的最值 例1 求列函数的极值：（1） ；（2） 解：（1） 令 ，得驻点 12+0-0+0+↗极大↘极小↗ ↗是函数的极大值； 是函数的极小值.（2） 令 ，得驻点 -11-0+0-↘极大↗极小↘当 时， 极小=-3；当 时， 极大=-1值。 例2 设 为自然对数的底，a为常数且 ）， 取极小值时，求x的值.解： 令 （1） ，由表 x（－∞，－2）－2f′(x)+0－0+f（x）↗极大值↘极小值↗取极小值.（2） 无极值.（3） 时，由表 x（－∞，－ ）－2f′(x)+0－0+f（x）↗极大值↘极小值↗ 。例3 求抛物线 上与点 距离最近的点。解：设 为抛物线 上一点，则 。与 同时取到极值，令 。由 得 是唯一的驻点.当 或 时， 是 的最小值点，此时 .即抛物线 上与点 距离最近的点是（2，2）.例4 设函数f（x）= －ax，其中a＞0，求a的范围，使函数f（x）在区间［0，+∞）上是单调函数.分析：要使f（x）在［0，+∞）上是单调函数，只需f′（x）在［0，+∞）上恒正或恒负即可.解：f′（x）= －a.当x＞0时， 因为a＞0，所以当且仅当a≥1时，f′（x）= －a在［0，+∞）上恒小于0，此时f（x）是单调递减函数.点评：要使f（x）在（a，b）上单调，只需f′（x）在（a，b）上恒正或恒负，即f′（x）＞0（或＜0） 单调递增（或减）.例5 已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.（1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程.解：（1）f′（x）=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，即 解得a=1，b=0.∴f（x）=x3－3x，f′（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）.令f′（x）=0，得x=－1，x=1.若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f′（x）＞0，故f（x）在（－∞，－1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上也是增函数.若x∈（－1，1），则f′（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数.所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值.（2）曲线方程为y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=x03－3x0.因f′（x0）=3（x02－1），故切线的方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0）.注意到点A（0，16）在切线上，有16－（x03－3x0）=3（x02－1）（0－x0），化简得x03=－8，解得x0=－2.所以切点为M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0.点评：本题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力.