lim(x→0)[(1+x)^1/x] 解释为什么

Question

如题所述

Answer 1

首先需要设y=(1+1/x)^x， 

两边同时取自然对数得 lny=xln(1+1/x)=[ln(1+1/x)]/(1/x)

由洛必达法则lny=lim【x→∞】[ln(1+1/x)]/(1/x)=[1/(1+1/x)] (1/x) '/(1/x)'=1/(1+1/x)=1 

所以y=e【x→∞】 即lim(x→∞) (1+1/x)^x=e。

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

因为x趋于0，所以lim[(1+x)^(1/x)]=lim(1+x)^∞=e

解题过程如下：

原式 = lim (e^(ln(1+x)/x) -e)/x

=lim e(e^(ln(1+x)/x - 1) -1 ) /x

=lim e(ln(1+x)/x -1)/x

=e lim (ln(1+x)-x)/x²

=e lim (1/(1+x)-1) / 2x

=e lim -x/(2x(1+x))

=lim[(1+x)^(1/x)]

=lim(1+x)^∞

=e

扩展资料

求函数极限的方法：

利用函数连续性，直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0。

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，因式分解，通过约分使分母不会为零。若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）。

采用洛必达法则求极限，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

Answer 3

以上，请采纳，不是严格证明，但是能说明问题。

追问

你真是个人才，如果你写教科书我斗看懂了。

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Answer 4

这是重要极限，lim(x→0)[(1+x)^1/x] = e，本科高等数学教科书上都有证明的。

Answer 5

应该是等於e3吧? lim(x→0)(1+3/x)^x =lim(x→0)[(1+3/x)^(x/3)]3 =作换元t=x/3=lim(t→0)[(1+1/t)^t]3 =e3本回答被网友采纳