设fx是定义R恒不为零的函数,对任意x,y∈R,都有fx*fy=fx+y,若a1=1/2,an=fn,则数列an的前n项和的取值范围是

Question

f（x）×f（y）=f（x+y）

Answer 1

由已知可得a1=f(1)=1/2,
a2=f(2)=f(1+1)=[f(l)]^2=(1/2)^2,
a3=f(3)=f(2+1)=f(2)*f(1)=f^3(1)=(1/2)^3
于是猜想an=f(n)=f^n(1)=(1/2)^n
下面用数学归纳法来证明：
当n=1时a1=1/2成立
假设当n=k时成立，即ak=f(k)=(1/2)^k
则当n=k+1时
a(k+1)=f(k+1)=f(k)*f(1)=(1/2)^k*(1/2)=(1/2)^(k+1)
所以a(K+1)也成立，
所以对一切正整数n都有an=(1/2)^n
所以Sn=1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+…(1/2)^n=1/2[1-(1/2)2]/1-1/2=1-(1/2)^n
由于Sn=1-(1/2)^n是递减的，所以最大值是S1=1/2，当n趋向无穷大时，Sn趋于1
所以1/2≤Sn<1

Answer 2

[1/2,1)
由已知可得a1=f(1)=1/2,a2=f(2)=f^2(l)=(1/2)^2,
a3=f(3)=f(2)*f(1)=f^3(1)=(1/2)^3,…,
an=f(n)=f^n(1)=(1/2)^n,
∴Sn=1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+…(1/2)^n=1/2[1-(1/2)2]/1-1/2=1-(1/2)^n
∵n∈N*
∴1/2≤Sn<1

望采纳~