第1个回答 2013-05-10
求方程xy'+y=y(lnx+lny)的通解
解：xy'+y=yln(xy)；令xy=u，则y=u/x........(1)，y'=dy/dx=[x(du/dx)-u]/x²，代入原式得：
[x(du/dx)-u]/x+u/x=(u/x)lnu，化简得du/dx=(u/x)lnu，
分离变量得du/(ulnu)=(1/x)dx；
积分之得∫du/(ulnu)=∫(1/x)dx
即有lnlnu=lnx+lnC=lnCx
故得lnu=Cx，即u=e^(Cx)
代入(1)式即得通解为y=(1/x)e^(Cx)
【检验：对通解的两边取对数：lny=Cx-lnx；取导数：y'/y=C-1/x；故y'=Cy-(y/x)；
代入原式：左边=Cxy-y+y=Cxy；右边=y(lnx+Cx-lnx)=Cxy；故左边=右边，答案正确。】本回答被提问者采纳
解：xy'+y=yln(xy)；令xy=u，则y=u/x........(1)，y'=dy/dx=[x(du/dx)-u]/x²，代入原式得：
[x(du/dx)-u]/x+u/x=(u/x)lnu，化简得du/dx=(u/x)lnu，
分离变量得du/(ulnu)=(1/x)dx；
积分之得∫du/(ulnu)=∫(1/x)dx
即有lnlnu=lnx+lnC=lnCx
故得lnu=Cx，即u=e^(Cx)
代入(1)式即得通解为y=(1/x)e^(Cx)
【检验：对通解的两边取对数：lny=Cx-lnx；取导数：y'/y=C-1/x；故y'=Cy-(y/x)；
代入原式：左边=Cxy-y+y=Cxy；右边=y(lnx+Cx-lnx)=Cxy；故左边=右边，答案正确。】本回答被提问者采纳
第2个回答 2013-05-10
xy'+y=y(lny+lnx)
xy'/y+1=lny+lnx
令t=lny
方程化为xt'+1=t+lnx
即(xt'-t)/(x^2)=(lnx-1)/(x^2)
积分，有t/x=-lnx/x+C
那么，y=(Ce^x)/x
应该不会错。追问
xy'/y+1=lny+lnx
令t=lny
方程化为xt'+1=t+lnx
即(xt'-t)/(x^2)=(lnx-1)/(x^2)
积分，有t/x=-lnx/x+C
那么，y=(Ce^x)/x
应该不会错。追问
这个答案是：lnx e^(-y/x) C=0
追答答案错了呗
第3个回答 2013-05-10
可这个答案是：lnx e^(-y/x) C=0
第4个回答 2020-02-29
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