数学求指教！

Question

（题A）
1.lim(n->infinite）fn 是否连续
2.{fn}一致收敛
我想问下是不是如果 1成立，就说明{fn}是一致收敛的

另外，请与这道题题做下比较（题B）

我知道 {fn}只是逐点收敛，不是一致收敛，但为什么在 积分和极限可以互换呢？

和这道题的区别呢（题C）

这道题中，f{n}逐点收敛，似乎只有在逐点收敛情况下，题中的三个式子才成立（每个式子前面有个极限符号）

Answer 1

A. 1和2都不成立.
一列连续函数若一致收敛, 则极限函数也是连续的.
逆命题不成立, 例如fn(x) = e^(x-n), 逐点收敛到0, 极限函数连续, 但不是一致收敛的.

对这道题来说, 首先(cos(x))^n在x = 2kπ+π处就不收敛(数列(-1)^n不收敛).
除去这些点, 函数列在x = 2kπ处收敛到1, 其余点收敛到0, 极限函数也不是连续的, 1不成立.
这里可以用逆否命题, 因为该连续函数列的极限函数不连续, 所以一定不是一致收敛的, 2也不成立.
(其实连逐点收敛都不是, 怎能一致收敛?).

B. 一致收敛是交换积分和极限次序的充分条件而非必要条件.
这个例子其实可以估算: 对0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ fn(x) = x^n/(1+x^n) ≤ x^(n-1)/(1+x^n), 因此0 ≤ ∫{0,1} fn(x)dx ≤ ∫{0,1} x^(n-1)/(1+x^n) dx.
右边的积分可以算出来是ln(2)/n, 极限是0.
因此∫{0,1} fn(x)dx也收敛到0.

另外可以用Lebesgue控制收敛定理(也只是充分非必要条件).
这里不需要一般的结果, 只需要特殊情形(有界控制收敛):
在闭区间[a,b]上的(Riemann)可积函数列fn(x)逐点收敛到可积函数f(x),
且fn(x)在[a,b]一致有界, 则∫{a,b} fn(x)dx收敛到∫{a,b} f(x)dx.
本题中的fn(x)就是一致有界的(|fn(x)| ≤ 1).

不知要在哪方面和A比较?
同样要逐点求极限, 同样由极限函数不连续得到收敛不一致.
再次强调, 即便极限函数连续也未必是一致收敛的, 这种情况需要更细致的判断.

C. 这个题主要是问第三个式子为什么不成立吧?
例如fn(x) = n²x·e^(-nx), 可算得逐点收敛到0, 但在[0,a]积分收敛到1 (a > 0).
fn(x)的最大值是n/e, 因此函数列不是一致有界的, 所以与B的情况并不相同.
交换积分与极限次序毕竟还是需要条件的(虽然条件可以比一致收敛弱很多).