f(x)=x^3 + ax^2 +bx + c ，曲线y=f(x)在点P（1，f(1)）处的切线方程y=3x+1

Question

若函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增，求实数b取值范围 谢谢大家帮忙了，这是我的作业，需要尽快解决，麻烦了

Answer 1

f(x)=x^3 + ax^2 +bx + c
f'(x)=3x²+2ax+b
∵曲线y=f(x)在点P（1，f(1)）处的切线方程y=3x+1
∴f(1)=3+1=4，即1+a+b+c=4 ①
f'(1)=3+2a+b=3 ②
由①②得：a=-b/2,c=3-b/2
∴f'(x)=3x²-bx+b
∵函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增
∴对任意的x∈[-2,1]，f'(x)≥0恒成立
即3x²-bx+b≥0,
(x-1)b≤3x² （*）恒成立
x=1时，0≤3成立，
x∈[-2,1)时，x-1<0
（*）即b≥3x²/(x-1)

法1：
∵3x²/(x-1)
=3[(x-1)+1]²/(x-1)
=[3(x-1)²+6(x-1)+3]
=3[(x-1)+1/(x-1)]+6
1-x+1/(1-x)≥2√[(1-x)*1/(1-x)]=2
当1-x=1/(1-x),x=0时取等号
∴（x-1)+1/(x-1)≤-2
∴3[(x-1)+1/(x-1)]+6≤0
即3x²/(x-1)的最大值为0
∴b≥0
∴实数b取值范围是[0,+∞)

法2：前面一样
设g(x)=3x²/(x-1) ,x∈[-2,1)
g'(x)=3[2x(x-1)-x²]/(x-1)²
=3x(x-2)/(x-1)²
∴x∈[-2,0),g'(x)>0,g(x)递增
x∈(0,1),g'(x)<0，g(x)递减
∴g(x)max=g(0)=0
∴b≥0

Answer 2

f(x)=x�0�6+ax�0�5+bx+c, f'(x)=3x�0�5+2ax+by=3x+1过P, 令x=1,则y=4,∴P(1,4), 在P处切线斜率为3∴f(1)=4, f'(1)=3, 代入得1+a+b+c=4, 3+2a+b=3解得a=-b/2, c=3-b/2∴f(x)=x�0�6-(b/2)x�0�5+bx+3-b/2, f'(x)=3x�0�5-bx+bf'(x)=3x�0�5-bx+b>=0在[-2,1]上恒成立, 即f'(x)在[-2,1]上最小值非负f'(x)是关于x的二次函数,开口向上,对称轴x=b/6若b/6>=1即b>=6, ∴f(x)在[-2,1]上单调减, f(x)的最小值为f(1)=3-b+b>=0, 解得b任意, ∴b>=6①若-2<b/6<1,即-12<b<6, ∴f(x)在对称轴处取得最大值, f(b/6)=-b�0�5/12+b>=0, 解得0<=b<=12, ∴0<=b<6②若b/6<=-2,即b<=-12, ∴f(x)在[-2,1]上单调增, f(x)最小值为f(-2)=12+3b>=0, 解得b>=-4, ∴b无解③由①②③得 b>=0

Answer 3

f'(x)=3x^2+2ax+b依题意，得f'(1)=3+2a+b=3，整理得-b=2a，所以f‘（x）=3x^2-bx+b因为y=f（x）在区间[-2,1]上单调递增即f‘（x）＞0在区间[-2,1]上恒成立当-b/（2*3）＜-2，即，b＞12时，只需f’（-2）＞0，即12+2b+b＞0解，得b＞12当-b/6＞1，即b＜-6，只需f'（1）＞0，即3-b+b＞0解，得b＜-6当-2＜-b/6＜1，即-6＜b＜12时只需f'（-b/6）＞0，即b^2/12+b^2/6+b＞0解，得b＞0，b＜-4综上，b的取值范围是（负无穷，-6）∪（0,-4）∪（12，正无穷）