f(x)在x。的某领域可导，且f'(x。)=A,为什么不能推出“在趋于x。时，f'(x)的极限=A”

Question

f(x)在x。的某领域可导，且f'(x。)=A,我觉得可以得出结论“在趋于x。时，f'(x)的极限=A”啊，这是一道考研练习题，答案是不能推出。为什么啊

Answer 1

有的函数在x0处虽然连续，但x0有可能是补充定义的

此时，左右极限有可能不相等，故极限不存在

如下图函数即是

追问

什么可导函数的导函数可能是这个样子啊？
可导必连续，有第一类间断点的函数不可能有原函数啊
这一题，原函数可导必定连续，它的图必定是一条线且没有尖角，在x0处的斜率为A，在无限接近X0的地方，斜率肯定也无限趋于A啊
如果能有几何解释就好了

追答

绿线，原函数；紫线，导函数

都连续，都可导，但x0处导函数极限不存在

其实，分段函数大多如此，因其没有单一的表达式

追问

绿线可导且连续，x0是极值，f'(x0)=0
在无限接近x0的地方f’（x）即斜率不可能一下子折过去啊，折角函数没有原函数。
有这么一个定理，经常被当做证明题要证明：有第一类间断点的函数没有原函数。
你的这个导函数，x0是第一类间断点
如果有个实际f(x)表达式满足这样我就服了

追答

绿线是可导且连续，但不是连续可导
因其在x0处导数不存在，并不是f'(x0)=0
（此点是补充定义的，可以取任意值A，f'(x0)=A）
你的原题是说在x0的某邻域内可导，并没有说在x0处可导
所以这个函数的所有条件符合题设，但导数极限不存在
原函数的表达式当然是有的，只不过是分段函数
f(x)=x^2/2+2x, x≥0; -x^2/2-3x, x<0

追问

它题设写f'(x0)=A,在X0处也可导就是处处可导啊？
例子中x=0时导数解出来左导数=-3，右导数=2所以导数不存在，和f'(X0）=A不符啊
谢谢你陪我讲了这么久呵呵这题快让我崩溃了
其实这个例子f(x)=x^2*sin(1/x),(x≠0时)，f(0)=0.是可以解释这题的，原函数处处可导，但导函数不连续。而导函数不连续也只有可能是出现了第二类间断点，即震荡间断点或者无穷。但从几何意义上我还是想不通。你能帮我想想么（把导数看成是斜率）

追答

打个比方吧，好比打靶，离很远的一个靶，你也看不清楚
砰！你打了一枪，结果走近一看，靶上刚好有一个弹孔
你能说这个弹孔一定是你自己打的么？
现在这个f'(x0)=A，就好比那个弹孔，它确实是客观存在的
但它是不是由你的原函数导出的，这就不一定了
（它可能是由原函数导出的，也可能是补充定义的）
（其实楼上那个例子，f(x)=x^2*sin(1/x),(x≠0)，
f'(0)=0也是补充定义的，因为此时导数是不存在的）
如果是，那么你的“...极限为A”的结论就是正确的
如果不是，那你的结论就是不正确的
如果你一定要认为f'(x0)=A是由原函数导出的，
那这些导数在x0处不存在的例子又如何解释？
因为我照样可以补充定义f'(x0)=A，除非你说“不准补充定义！”
那么，OK，你的所有结论都是正确的
话说，不准补充定义，嘿嘿，这话恐怕要跟古往今来的数学家去说去了
至于斜率的几何意义，当然是斜率的变化反复无常，
无法取得一个定值，所以规定为此处斜率不存在了

来自：求助得到的回答

Answer 2

如果函数的导数在这点连续的话，你的结论是对的。
假如导函数在这点不连续，结论就不对。
而这个题目恰恰没有导函数连续这个前提，所以不能推出。
你可以自己找一个函数可导，但导函数不连续的例子。追问

导函数不存在第一类间断点

追答

f(x)=x^2*sin(1/x),(x≠0时)，f(0)=0.
函数处处可导，但导函数不连续。即f'(x)的极限不存在。

追问

额，我刚也百度到了这个呃哈哈。不过还是谢谢你。
这个例子f(x)=x^2*sin(1/x),(x≠0时)，f(0)=0.是可以解释这题的，原函数处处可导，但导函数不连续。而导函数不连续也只有可能是出现了第二类间断点，即震荡间断点或者无穷。但从几何意义上我还是想不通。你能帮我想想么（把导数看成是原函数切线的斜率）