几道线性代数问题
1.设A=[a(ij)]的特征值为1，2，-3，而A(ij)为a(ij)的代数余子式，i=1,2,3。则A(11)+A(22)+A(33)=?
2.设x1=[a,0,-1]T,x2=[1,b,1]T,x3=[c,1,2]T是三阶实对称矩阵A的三个不同特征值所对应的特征向量，则a=?,b=?,c=?
(注：第一题的下标打不出来，就用括号代替了,第二题的T代表转置）
做这两个题其实可以用两个线性代数中的结论就可以，非常简单。第一题：需要用到的知识点是矩阵的迹，英文叫trace，等于对角线元素的和，也等于特征值之和，即A(11)+A(22)+A(33）=1+2+（-3）=0。第二题用到的知识点是，实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交。即x1，x2，x3，两两正交。所以x1与x2的内积等于0，即a+0+(-1)=0，a=1，同理c=2，然后算出b=-4。追问
第一道题不对吧，特征值之和应该是a(11)+a(22)+a(33),而不应该是代数余子式之和啊
追答
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第1个回答 2013-07-20
第 1 题的要点是 Vieta 定理
A 的特征多项式 f(x) = x^3-ax^2+bx-c
你至少应该知道其中的两个系数 a=tr(A)=1+2-3=0, c=det(A)=1*2*(-3)=-6
而一次项系数 b=1*2+1*(-3)+2*(-3)=-7 就是 A 的对角元的(代数)余子式的和
这些东西没什么技巧可言, 就是把特征多项式 det(xI-A) 完全展开就能看出来
第 2 题的要点是实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交
利用正交性可以依次算出 a, c, b本回答被网友采纳
A 的特征多项式 f(x) = x^3-ax^2+bx-c
你至少应该知道其中的两个系数 a=tr(A)=1+2-3=0, c=det(A)=1*2*(-3)=-6
而一次项系数 b=1*2+1*(-3)+2*(-3)=-7 就是 A 的对角元的(代数)余子式的和
这些东西没什么技巧可言, 就是把特征多项式 det(xI-A) 完全展开就能看出来
第 2 题的要点是实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交
利用正交性可以依次算出 a, c, b本回答被网友采纳
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