函数可微和可导的关系如下：
函数可微和可导是微积分中重要的概念，它们之间存在着密切的关系。在数学中，“可微”和“可导”通常用来描述函数在某一点的光滑性和变化率。虽然它们经常被用来互相替代，但在某些情况下它们并不是等价的。
首先，让我们来了解一下这两个概念的定义。一个函数在某一点可微，意味着它在这一点附近有一个线性逼近。换句话说，函数在这一点附近可以用一个线性函数来近似表示。
而一个函数在某一点可导，意味着它在这一点有一个唯一的切线。这意味着函数在这一点的变化率是有限的，也就是说函数在这一点是光滑的。
从定义上来看，我们可以看出函数可微和可导之间的联系。事实上，如果一个函数在某一点可微，那么它在这一点也是可导的。
这是因为可微的函数可以用一个线性函数来逼近，而这个线性函数同时也是这一点的切线，因此函数在这一点也是可导的。换句话说，可微性是可导性的一个充分条件。
然而，可导性并不一定意味着可微性。举个简单的例子，绝对值函数在原点是可导的，但并不是可微的。这是因为绝对值函数在原点的切线并不是唯一的，因此它在原点不是可微的。这表明可导性并不是可微性的必要条件。
另外，函数的可微性和可导性还与函数的连续性有着密切的关系。根据微积分的基本定理，如果一个函数在某一点可导，那么它在这一点也是连续的。这意味着可导性是连续性的一个充分条件。而对于可微性来说，情况稍微复杂一些。
虽然可微性也是连续性的一个充分条件，但并不是必要条件。也就是说，一个函数在某一点连续并不一定意味着它在这一点可微。
总的来说，函数可微和可导之间存在着密切的关系，但它们并不是完全等价的。可微性是可导性的一个充分条件，但并不是必要条件。
而可导性则是连续性的一个充分条件。因此，在研究函数的光滑性和变化率时，我们需要同时考虑这两个概念，以便更好地理解函数的性质和行为。