大一，高等数学问题

Question

如题所述

Answer 1

(3)同(2)a>0

Answer 2

（1） 当α<0时， 当x-->0时 ，|x|^α是无穷大量，sin(1/x)是有界量，|x|^αsin(1/x)的极限不存在；
当α=0时，|x|^α=1，当x-->0时 ，sin(1/x)无限震荡，f(x)=sin(1/x)极限不存在；
当α>0时，当x-->0时 ，|x|^α是无穷小量，sin(1/x)是有界量，|x|^αsin(1/x)是无穷小量
lim[x-->0]|x|^αsin(1/x)=0=f(0)
∴当α为大于零的实数时,f(x)在x=0处连续，否则f(x)在x=0处不连续。
（2） lim[x-->0][f(x)-f(0)]/x=± lim[x-->0]|x|^(α-1)sin(1/x),
当α<=1时，x-->0的极限不存在；当α>1时，x-->0的极限为0。
∴当α为大于1的实数时,f(x)在x=0处可导。
(3) f'(0)=0
f'(x)=αx^(α-1)sin(1/x)-x^(α-2)cos(1/x)=x^(α-2)[xsin(1/x)-cos(1/x)] (x>0)
f'(x)=-α(-x)^(α-1)sin(1/x)-(-x)^(α-2)cos(1/x)=-(-x)^(α-2)[-xsin(1/x)+cos(1/x)] (x<0)
∴当α为大于2的实数时,f(x)在x=0处导函数连续。本回答被网友采纳