大一高等数学题 要解题过程

Question

1.函数f(x)=x|x(x-1)|的不可导点是？
2.已知lim(x→0)(f(x)-2)/3x=5，求f'(0)
3.y=xsin(1/x), x≠0; 0, x=0，讨论此函数在x=0处的连续性与可导性
4.y=ln(x+√(1+x^2))
第4题的问题是求它的二阶导数

Answer 1

答：
1.
函数在定义域是连续的。
当0<x<1时，x(x-1)<0，去绝对值，得：f(x)=x^2-x^3；
当x<0或x>1时，f(x)=x^3-x^2。
当x->0-时，f'(x)=3x^2-2x=0；当x->0+时，f'(x)=2x-3x^2=0
所以在x=0处左右导数相等。
同理在x=1处:
x->1-,f'(x)=2x-3x^2=-1；
x->1+,f'(x)=3x^2-2x=1，此时f(x)在x=1处左右导数不相等。f(1)=0
所以不可导点是(1,0)

2.
令F(x)=f(x)-2，则F'(x)=f'(x).由limx->0 F(x)/3x=5,可得F(x)=0,即f(x)=2.
由导数的定义F'(0)=f'(0)=limx->0 [F(0+x)-F(0)]/x
=limx->0 F(x)/x=15
所以f'(0)=15

3.
令f(x)=y,显然f(0)=0；
而sin(1/x)有界，|sin(1/x)|<=1.所以limx->0 xsin(1/x)->0
所以函数连续。
而f'(x)=sin(1/x)-cos(1/x)/x,在x->0+,x->0-导数均不存在。
所以函数在x=0处连续但不可导。

4.
y'=1/(x+√(1+x^2))*(x+√(1+x^2))'
=[1+x/√(1+x^2)]/(x+√(1+x^2))
=1/√(1+x^2)

y''=[1/√(1+x^2)]'
=[(1+x^2)^(-1/2)]'
=(-1/2)*2x*(1+x^2)^(-3/2)
=-x(1+x^2)^(-3/2)