对含参变量的积分求导

Question

如图示，是否可将2X直接代入t，并将左边式求导得到2f(x)是否一定要先换元，如果不换元可以直接对已知条件的等式两边进行求导吗？

另外，红色部分的做法是否有问题呢？我以为虽然是t/2，直接全部更换，是否不影响原函数的规则，如果这样的话， 对积分求导，需要再求2x的导数，结果得到4f(2x)，然后，然后我就不知道怎么办了，把自己完全绕进去了…………

Answer 1

将2x直接代入t是错的，这里，t是积分变量，积分完后就没t了， x才是最终变量 。

这里，t是积分变量，当把t/2换成 t 时，积分上下限也得相应的改变成[0, 4x]。

∫[0, 2x]f(t/2)dt = 2∫[0, x]f(u)，

于是

(d/dx)∫[0, 2x]f(t/2)dt = 2*(d/dx) ∫[0, x]f(u)du = 2f(x)。

实际上，不必换元就可以直接求导的，用复合函数求导法求导即可：

(d/dx)∫[0, 2x]f(t/2)dt = f[(2x)/2]*(d(2x)/dx) = 2f(x)。

扩展资料：

如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。

函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

参考资料来源：百度百科-导数

Answer 2

　　回答第一个问题：将 2x 直接代入 t 是错的，这里，t 是积分变量，积分完后就没 t 了， x 才是最终变量 。
　　回答第二个问题：这里，t 是积分变量，当把 t/2 换成 t 时，积分上下限也得相应的改变成[0, 4x]，……。追问

如果上下限变成0，4x；那么继续对两边求导，得到8f(4x)了，是否这个值就等于条件中给出的右面部分的导数呢； 这样又该如何求出最终的正确答案呢

追答

　　好像我错了。改成
　　回答第二个问题：这里，t 是积分变量，当把 t/2 换成 t 时，积分上下限相应的改变成[0, x]，这样，
　　　　∫[0, 2x]f(t/2)dt = 2∫[0, x]f(u)du，
于是
　　　　(d/dx)∫[0, 2x]f(t/2)dt = 2*(d/dx) ∫[0, x]f(u)du = 2f(x)。
实际上，不必换元就可以直接求导的，用复合函数求导法求导即可：
(d/dx)∫[0, 2x]f(t/2)dt = f[(2x)/2]*(d(2x)/dx) = 2f(x)。

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