在定积分一章中,变上限积分原函数存在定理,提供了一种求导方法。
而在多元函数微分学一章中,讨论了含参量积分的连续性、可微性、可积性。其中可微性内容中又有求含参量积分的导数的公式。
请问这两者内容是否统一?请解释一下.
有以下2题目:
①F(t)=积分(0到2t+1) ln(x^2+t^2)dx , 求 F'(-1)
②f(x)=积分(3到2x-1)[sin(y-x) / (1+y^2)]dy, 求 f'(x)
第二个题的被积函数显然应是二元函数。
那么①问题的被积函数是多元函数吗?t是否看作是y?这个疑问是否会影响到①的最终求解?
两个题解答请写一下关键步骤,答好了追加分数。
问题中的被积函数是多元函数,即被积函数为g(x,t)=ln(x²+t²)
过程为F'(t)=∫ ∂g(x,t)/∂t dx
=∫ 2t/(x²+t²)dx
=2arctan(x/t)| [0,2t+1]
=2 arctan[(2t+1)/t]
从而F'(-1)=2arctan1=π/2
不能用变上限积分求导的方法求,因为被积函数是t的函数。
函数的近代定义
是给定一个数集A,假设其中的元素为x,对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B,假设B中的元素为y,则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示,函数概念含有三个要素:定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
请问什么的情况下可以用变上限积分求导法?
问题的第四行,这两者是不是统一的?为什么?您还没有解释呢。
变上限积分的求导公式如下
F(t)=∫ [a(t), b(t)] f(x)dx,则F'(t)=a'(t) f[a(t)]-b'(t)f[b(t)]
也就是当求导的对象是t时,只有在积分上下限为t的函数,被积函数不含有t的时候才能用以上公式!
二者不统一,因为①中没办法用上述公式算,你可以计算一下,结果不一样!
t只是一个符号啊...有可能是为了和x区分才换的啊...
变上限积分的求导和含参积分求导区别是什么啊?
变上限积分求导就是求导对象只在上下限出现,在被积函数中不出现
含参变量积分求导就是求导对象出现在被积函数中
此外,①做的时候我漏了一项,不好意思!应该是
过程为F'(t)=∫ ∂g(x,t)/∂t dx+g(2t+1, t)(2t+1)'
=∫ 2t/(x²+t²)dx+2ln [(2t+1)²+t²]
=2arctan(x/t)| [0,2t+1]+2ln [(2t+1)²+t²]
=2 arctan[(2t+1)/t]+2ln [(2t+1)²+t²]
从而F'(-1)=2arctan1+2ln2