考研数学：一阶可导和一阶导数连续区别

Question

RT

如果题中说一阶可导的话，能用罗比达法则么

Answer 1

1.举个例子说明
f(x)=x^2+x (x≥0)
x^2-x (x<0)
f(x)一阶可导但不是一阶连续，0点处没有二阶导数

2.罗比达法则
设函数f(x)和F(x)满足下列条件： 　
　（1）x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0; （或两个同时趋于无穷）　
　（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导，且F(x)的导数不等于0; 　　
（3）x→a时，lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 　
　则 x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))
就满足用罗比达判断的条件了

稍等，我修改一下追问

您举得第一个例子，f(x)在0点不可导吧，左右导数极限不一样啊

追答

嗯，我刚发现，所以在修改。这种跳跃间断点不可是一阶导数，那就是无限震荡的那种情形
f（x）=x²sin（1/x） x≠0
0 x=0
则f'(x)=2xsin(1/x)-cos（1/x） x≠0
0 x=0
f'(x)在点x=0处存在，但不连续。

追问

秒懂！
但是再弱弱的问下：一介可导条件下，能用罗比达法则么（根据定义我是在想不粗啊）

追答

点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导，去心邻域可导就行，这里可导就是可一阶导
。再加上条件1）3）就可以用罗比达法则了。
单独一个一阶可导不能判断能不能用。
如还有问题请追问，没有问题请采纳O(∩_∩)O~

Answer 2

模糊记得高数书上说过，将一阶导数就是函数求过一阶导数后，任然是一函数啊，而得到的这个函数是连续的。而一阶可导就是函数连续，至于用什么法则则需要看法则的作用条件，首先要检查是否满足
0/0或 型构型，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括
情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

Answer 3

前者自然好理解，关键是后者，后者是其导函数是连续的，也可以理解为该函数必定有二阶导数。追问

一阶导数连续就能推出有二阶导数？这意思就好像说函数连续就有一阶导数啊？肯定不对啊