奇偶性：已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足下式

Question

已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足 f(xy)=yf(x)+xf(y)。
(1)求f(1),f(-1)的值。 (2)判断函数f(x)的奇偶性。
赋值法怎么解？求大神。

Answer 1

赋值法：
1：令x=1，y=1，f(xy)=f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0;
令x=-1，y=-1，f(xy)=f(1)=-f(-1)+-f(-1)=0,则f(-1)=0;
2.令x=0，y=0,f(xy)=f(0)=0,
令y=-1，f(xy)=f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x),即f(-x)=-f(x),又f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，所以f(x)为奇函数

Answer 2

令x=y=1
有f(1×1)=1f(1)+1f(1)
∴f(1)=0 同理f(-1)=0令x=y=-1
(2)利用f(-x)=±f(x)判断