证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约

如题所述

推荐答案 2013-08-02

方便起见, 不妨改为证明f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)-1不可约.
用反证法, 假设f(x) = g(x)h(x), 其中g(x), h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式.
由Gauss引理, 不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式.
依次带入x = 1, 2,..., n, 可知g(k)h(k) = f(k) = -1, 对k = 1, 2,..., n.
而g(k)与h(k)都是整数,可知g(k)和h(k)只能是±1.
且g(k) = 1时h(k) = -1, 而g(k) = -1时h(k) = 1.
因此总有g(k)+h(k) = 0, 对k = 1, 2,..., n.
多项式g(x)+h(x)有n个不同的根, 但其次数 < n (g(x)与h(x)的次数都小于n),
于是g(x)+h(x)恒等于0, 但这与g(x), h(x)的最高次项系数为1矛盾.
所以f(x)不可约.

温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考

当前网址：http://77.wendadaohang.com/zd/IN3vp3qNN.html

相似回答

多项式在有理数域上为什么不可约?答：1、艾森斯坦因判别法：设f（x）=a₀+a₁x+...+aₙxⁿ是整系数多项式，若有一个素数P使得P不整除aₙ，但整除其他aᵢ（i=0,1，...，n-1）；p²不整除a₀，那么f（x）在有理数域上市不可约的。2、反证法：因为艾森斯坦因判别法只是一个...

...1,这里n>=1.证明:多项式f(x)在有理数域上不可约?答：先定义floor(x)是向下取整函数，ceil(x)是向上取整函数若f(x)=u(x)v(x), deg u(x) >= deg v(x) >= 1 那么deg v(x) <= floor(n/2)注意f(k)=1 <=> |u(k)|=|v(k)|=1，所以v(x)+1=0和v(x)-1=0中至少有一个存在ceil[(n+1)/2]个根但是m次多项式不能有m+1...

高等代数:有理数域上的不可约多项式答：1. 有理根法对于三次及以下多项式，有理根的存在意味着它是可约的。然而，对于高次多项式，如 4x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 5</，虽然没有有理根，但仍可能是不可约的。2. Eisenstein判别法这个方法指出，如果一个多项式 f(x)</ 在 U</ 上可约，那么在某个素数 p</ 下，f(x) ≡ 0 ...

如果一个多项式f(x)没有有理根,那么它在有理数域上不可约答：如果一个多项式没有有理根，那么它的因式分解只能发生在复数域上。这是因为有理数域上的多项式根只能是有理数或者无理数，而无理数的形式是不完全的。另外，多项式的不可约性还可以通过判断其系数是否满足一定的条件来确定。例如，如果一个多项式的系数是整数，且它没有有理数根，那么它在有理数域...

设f(x)=(x 1)(x-1)(x-2)(x-3),证明方程f'(x)=0有三个实根,并指出其答：f(x)是四次多项式，f'(x)=0是三次方程。所以最多三个实根 f(-1)=f(1)=f(2)=f(3)=0 利用三次罗尔定理，可得方程f'(x)=0有三个实根，区间分别为 (-1,1),(1,2),(2,3)形式：相等的式子（或字母表示的数）通过“=”连接起来。等式分为含有未知数的等式和不含未知数的等式。...

一个定理答：解析:这是因式分解的唯一性的证明。首先要明确：形如这样的式子是都可以进行因式分解得到形如（x-a）（x-b）（x-c）...的式子。充分性证明如下（反证法）：假设（x-b）不是f（x）的一个因式，那么设f（x）=∏(x-b[i])(i=1,2,3,4,5...n){因为f(x)是n次的}，由假设得b[i]≠...

因式分解的方法除了提取公因数和公式发外,还有什么?具体说明一下,要具...答：3. x2-x-y2-y 解法:=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决。 ⑷十字相乘法这种方法有两种情况。 ①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积...

大家正在搜

设多项式fx有因式x 多项式fx中x三次方系数行列式多项式fx中的常数项为设fx是首1整系数多项式设函数fx是三次多项式 f在x0的任意阶泰勒多项式为0 设fx是一个整系数多项式多项式fx除以x fx是n阶多项式