设n次整系数多项式函数f(x)在多于n个整数处取值1或-1，这里n>=1.证明：多项式f（x）在有理数域上不可约？

Question

如题所述

Answer 1

先定义floor(x)是向下取整函数，ceil(x)是向上取整函数

若f(x)=u(x)v(x), deg u(x) >= deg v(x) >= 1

那么deg v(x) <= floor(n/2)

注意f(k)=1 <=> |u(k)|=|v(k)|=1，所以v(x)+1=0和v(x)-1=0中至少有一个存在ceil[(n+1)/2]个根

但是m次多项式不能有m+1个根，矛盾；

加法与乘法

有限的单项式之和称为多项式。不同类的单项式之和表示的多项式，其中系数不为零的单项式的最高次数，称为此多项式的次数。

多项式的加法，是指多项式中同类项的系数相加，字母保持不变(即合并同类项)。多项式的乘法,是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘之后合并同类项。

F上x1，x2，…，xn的多项式全体所成的集合Fx{1,x2，…,xn}，对于多项式的加法和乘法成为一个环，是具有单位元素的整环。

域上的多元多项式也有因式分解惟一性定理。[

Answer 2

先定义floor(x)是向下取整函数，ceil(x)是向上取整函数
若f(x)=u(x)v(x), deg u(x) >= deg v(x) >= 1
那么deg v(x) <= floor(n/2)
注意f(k)=1 <=> |u(k)|=|v(k)|=1，所以v(x)+1=0和v(x)-1=0中至少有一个存在ceil[(n+1)/2]个根
但是m次多项式不能有m+1个根，矛盾本回答被网友采纳

Answer 3

同学你在丹青吗？追问

对啊，吴志祥的高代作业啊