线代题目

Question

五阶实对称矩阵A满足A^3=A，二次型f=XTAX的正惯性指数为2，若r(A)=4，求：行列式|2A^3-I|的值。

Answer 1

由A是实对称矩阵, 存在正交矩阵C, 使B = C'AC为对角阵(C'表示C的转置).
B与A相似且合同, 可得A的正惯性指数 = A的正特征值的个数.
由A³ = A, 可知A的特征值满足λ³ = λ, 即只能为-1, 0, 1.
r(A) = 4, 故A恰有4个非零特征值, 又A的正惯性指数为2, 故A恰有2个正特征值.
于是A的特征值为1, 1, -1, -1, 0.
2A-I的特征值为2·1-1, 2·1-1, 2·(-1)-1, 2·(-1)-1, 2·0-1, 即1, 1, -3, -3, -1.
故|2A³-I| = |2A-I| = 1·1·(-3)·(-3)·(-1) = -9.