二元函数f(x,y),通常判断凹凸性看海森矩阵是否正半定。已知分别对某一变量为凸函数(视另一变量为常数)？

Question

想请问一下,若二元函数f(x,y),通常判断凹凸性，都是看海森矩阵是否正半定。但是我的函数太复杂，海森矩阵实在难以处理。但是可以证明函数f(x,y)对于每个变量都是凸函数（将另一个变量视为常数）， 这样可以说函数f(x,y)是凸函数吗？ 多谢了！这个问题对我意义重大。

Answer 1

不能保证。

原因：简单的反例: f(x,y)=x^2-4xy+y^2，从Hesse矩阵的角度看, 对角元非负不足以保证半正定性, 这只是一个简单的必要条件。

1、函数f(x)的图像上取任意两点，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。

2、如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。

扩展资料：

函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2，和任意λ∈(0，1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f为I上的凹函数。若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。如果"≤“换成“≥”就是凸函数。

1、如果对D上任意两点a、b恒有f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2那么称f(x)在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）。

2、如果恒有f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2，那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

参考资料来源：百度百科-函数的凹凸性

Answer 2

这显然是不能保证的, 简单的反例: f(x,y)=x^2-4xy+y^2
从Hesse矩阵的角度看, 对角元非负不足以保证半正定性, 这只是一个简单的必要条件本回答被提问者采纳