刘老师，请教一个问题：一个对称矩阵A的转置与A乘积的迹是否等于A中各个数平方和

Question

如题所述

Answer 1

设 A是m行n列矩阵 [不必是方阵，更不必是对称矩阵]，A的第i行、第j列交点元素aij

则A′ [即A的转置矩阵] 的第k行为﹙a1k,a2k ……amk﹚

A的第k列为﹙a1k,a2k ……amk﹚′

∴A′A的第k行、第k列交点元素∑[1≤i≤m]aik×aik＝∑[1≤i≤m]aik²

即A′A的第k个主对角元素＝A的第k列元素的平方和。

从而A′A的迹＝∑[1≤k≤n]﹛∑[1≤i≤m]aik²﹜＝A的全部元素的平方和。

﹙这是一般结果，如果是复数矩阵，用的最多的结果是：

[A的共轭转置矩阵×A]的迹＝A的全部元素的摸的平方和。 ﹚

Answer 2

|AA^T| = |A| |A^T| = |A||A| = |A|^2