求解定解问题：

Question

如题所述

Answer 1

齐次化边界条件，设u=v+w

v=-A(x/l-1)t
则w需要满足
w_t-a^2 w_xx=-A+Ax/l
w(x,0)=0
w(0,t)=0, w(l,t)=0

x的本征方程为
u_n=sin(nπx/l) (n≥1)
u_0=px+q=0 (不满足边界条件)

用此将A-Ax/l展开

x=Integrate[x*sin(nπx/l),{x,0,l}]*sin(nπx/l)
=(l^2 (-1)^n / nπ) sin(nπx/l)

w=Sum[T_n(t)X_n(x),n]满足
T'n+(anπ/l)^2 Tn=(-1)^n Al/ nπ (n≥1)
以及初条件
Sum[T_n(0) sin(nπx/l), n≥1]=0

解得Tn=-(exp(-(anπ/l)^2 t)-1)*((-1)^n A/((nπ/l)^3 a^2)) (n≥1)

overall

u=w+v
=A(1-x/l)t-(-1)^n (A/((nπ/l)^3 a^2)) sin(nπx/l)(exp(-(anπ/l)^2 t)-1)

我没用草稿纸直接在网上写的……可能有小错，但是思路是这样的。欢迎讨论。本回答被提问者采纳