线代，向量组秩的问题

Question

α1,α2,α3线性无关，β1=α1+t1α2，β2=α2+t2α3，β3=α3+t3α1。β1，β2，β3线性无关。则有（β1，β2，β3）=（α1,α2,α3）（1 0 t3，t1 1 0， 0 t2 1），为什么r（β1，β2，β3）=r（1 0 t3，t1 1 0， 0 t2 1）？是有什么定理吗，麻烦老师写一下，谢谢。
若向量组α1,α2,α3的秩为2，则β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1的秩是多少？

Answer 1

析：先看一个结论，若A=BC,则r(A)≤min{r(B),r(c)},
若B可逆，则有r(A)=r(C).
因为：C=B(逆）A,这样，r(C)≤r(A),
有前面知r(A)≤min{r(B),r(c)}，故r(C)≤r(A),
即证r(A)=r(C).
这道题由于（α1,α2,α3）线性无关，故可逆，
有上面定理可知结论成立。追问

那线性无关为什么就可逆呢？ 是根据线性无关得到 其行列式不为0 继而得到可逆的吗？可是这里行列式是对于 n乘以n阶的行列式而言的啊 而这里的（α1,α2,α3）不一定是n乘以n阶的啊

追答

是的，我想这道题中的α，β都是三维的，刚开始证明的时候我也想到了这一点。

追问

可是题目中没有说明是三维的啊，还有没有比较常规的处理方法呢？比如说这道题：若向量组α1,α2,α3的秩为2，则β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1的秩是多少？

追答

道题可以这样理解（仅供参考），由于：
（β1，β2，β3）=（α1,α2,α3）（1 0 t3，t1 1 0， 0 t2 1），
若A=BC,则r(A)≤min{r(B),r(c)},（这个结论对任意矩阵都成立）
故r（β1，β2，β3）≤r（1 0 t3，t1 1 0， 0 t2 1），
又因为β1，β2，β3线性无关，故r（β1，β2，β3）=3
3≤r（1 0 t3，t1 1 0， 0 t2 1）≤3，所以；
r（β1，β2，β3）=r（1 0 t3，t1 1 0， 0 t2 1）=3.