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如果向量组的秩为r
设
向量组的秩为r
,则:
答:
【答案】:D 提示:设该
向量组
构成的矩阵为A,则有R(A)=r,于是在A中有r阶子式 Dr≠0,那么这r阶子式所在列(行)向量组线性无关。又由A中所有r + 1阶子式均为零,则可知A 中任意r+1个列(行)向量都线性相关,故正确选择为选项D。
...向量组可以由它
的r
个向量线性表出,则这r个向量构成这
向量组的
...
答:
α
r是向量组的
一极大线性无关组故β1β2……βr亦可由α1α2……αr线性表示即α1α2……αr与β1β2……βr等价.由于等价的向量组具有相同
的秩
故β1β2……βr的秩亦
为r
从而β1β2……βr线性无关即β1β2……βr构成了向量组的一个极大线性无关组.设α1,α2……αr是向量组...
向量组的秩为r
,任意r加1向量线性相关,那r加2向量线性相关吗?
答:
性质:若向量组有r个线性无关的向量,则向量组的秩至少是r。若
向量组的秩为r
,则任意r个线性无关的向量都是极大无关组。若向量组的秩为r,则任意r+k(k>=1)个向量都线性相关。
秩为r的向量组
可能出现r个线性相关的向量吗? 秩为r的向量组任意r个向量...
答:
秩为r的向量组
可能出现r个线性相关的向量,分两种情况:1.当秩为r的向量组中向量个数大于r时,可能有r个线性相关的向量。2.当秩为r的向量组中向量个数等于r时,r个向量必线性无关。第二问同理
...向量组可以由它
的r
个向量线性表个出,则这
r向量
构成这
向量组的
...
答:
证明:设a1,a2,...,ar为a1,a2,...,as中任意一个线性无关的向量组,aj(j=1,2,...,s)为向量组中的任意一个向量,则a1,a2,...,ar,aj线性相关。否则与
向量组的秩为r
矛盾。所以aj,可由a1,a2,...,ar线性表出,即向量组中的每一个向量可由a1,a2,...,ar线性表出,...
秩为r的向量组
中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组...
答:
【答案】:可用反证法来证:设α1α2……α
r是
向量组中任意r个线性无关的向量组β是向量组中任一其他
向量若
α1α2……αrβ线性无关则
向量组的秩
至少
为r
+1和条件矛盾故α1α2……αrβ线性相关.所以β可由α1α2……αr线性表示.综上所述α1α2……αr构成了一个极大线性无关组....
若向量组
a1,a2,a3,as
的秩是r
,则必有r
答:
不完全正确,应该
是r
≤s,而不是r<s
秩
的定义就是向量组中,最大无关
组向量
的个数。而最大无关
组是
向量组中的一部分向量组成的,其中向量个数不可能比
向量组的
向量还多。例如3个向量组成的向量组中,不可能找出4个,5个向量线性无关一样。所以r≤s,当向量组的向量线性无关的是r=s ...
若秩为r的向量组
中任意r个向量都构成其极大线性无关组。
答:
1、
若
任意
r
个线性无关的向量构成的不
是向量组的
极大线性无关组,不妨记b1b2,...br是取出的r个线性无关的向量;2、由于b1b2,...br不是原向量组的极大线性无关组,那么可以在剩下的向量中取至少1个(不妨记为br+1)加进b1,b2,...br中,那么b1,b2,...br,br+1是线性无关组,那么向量组...
设
向量组
a1a2a3
的秩为r
,则有
答:
且有:任意
r
+1 个向量的部分组线性相关。子
向量组的秩
不会超过整个向量组的秩,因此max{r1,r2}<=r3。取第一个向量组的一个极大无关组,不妨设为a1,a2,ar1 取第二个向量组的一个极大无关组,不妨设为β1,β2,βr2,则第三个向量组可由向量组a1,a2,ar1,β1,β2,βr2 线性表...
证明:
若
已知
向量组
a1a2a2...an
的秩为r
(r<=m)。则a1a2a3..an中任意r个...
答:
an}中扩大为 {a1 ,a2,……,ar,aj}还是线性无关,这就得到{a1a2a3..an}中一个容量
为r
+1的线性无关 向量组,与{a1a2a3..an}
的秩
=r(存在一个容量为r的线性无关向量组,任何容量大于
r的向量组
都线性相关)矛盾。所以{a1 ,a2,……,ar}只要是线性无关,就一定是极大无关组。
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