将f(x)=arctanx展开成x的幂级数,并求其收敛区间

如题所述

第1个回答 2013-06-05

f(x)=arctanx f(0)=0
f‘(x)=1/(1+x^2)=∑(0,+∞)(-1)^nx^(2n) |x|<1
f(x)=arctanx=∫∑(0,+∞)(-1)^nx^(2n)dx
=∑(0,+∞)(-1)^nx^(2n+1)/(2n+1)
当x=1和-1级数是收敛的交错级数。
arctanx=∑(0,+∞)(-1)^nx^(2n+1)/(2n+1) |x|<=1

第2个回答 2020-06-06

(arctanx)'=1/(1+x^2)=∑(-1)^n(x)^(2n)
故arctanx=(-1)^n[x+x^3/3+...+x^(2n+1)/(2n+1)+...])=∑(-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)

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