高中数学必修一题

Question

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希望能写出详细的分析过程

Answer 1

这是一个对勾函数。画出图象，在(0,1)单调递减，（1,正无穷）递增。如果还在高一，导数法没学，用在定义与内取值法做差求。

Answer 2

f（x）在（0,1）单调递减
设0<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2
=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
因为0<x1<x2<1，所以x1-x2<0,(1-1/x1x2)<0,所以(x1-x2)(1-1/x1x2)>0
∴f(x1)-f(x2)>0,
f(x1)>f(x2),
∴f（x）在（0,1）单调递减

f（x）在（1，﹢∞）单调增
设1<x1<x2，
f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2
=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
∵1<x1<x2
所以x1-x2<0,(1-1/x1x2)>0,所以(x1-x2)(1-1/x1x2)<0
∴f(x1)-f(x2)<0,
f(x1)<f(x2),
∴f（x）在（1,+∞）单调递增

Answer 3

解：f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增
证明：
(1) 任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(1-1/x1x2)
因为x1,x2∈(0,1),且x1<x2
所以x1-x2<0,0<x1x2<1,1-1/x1x2<0
所以f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)在(0,1)单调递减
(2) 任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2
同上，但x1x2>1,1-1/x1x2>0
所以f(x1)-f(x2)<0
所以f(x)在(1,+∞)单调递增追问

为什么你一下子就知道要取一？
为什么你想的不是取2或取3而是取0，1？

追答

1.可以通过画出大概的图像判断~

2.若你已经学习了求导，则可用求导数法
f'(x)=1-1/(x*x) 当f'(x)=0 时，解得x=1 或 -1 　　 所以必然取1

3.若你学了基本不等式 ，则可判断：
当x>0时，x+(1/x)≥2，当且仅当x=1/x，即，x=1时候取得最小值2；
那么，当x在(0,1]上，当x无限接近于0的时候，1/x就接近于无穷大，即函数值接近于无穷。所以：
在(0,1]时，函数递减；

同理，当x在[1,+∞)上，当x无限接近于+∞的时候，此时函数值也接近于无穷。所以：
在[1,+∞)上，函数递增；

Answer 4

1 求导 2 令导数值大于零求出X的取值范围 3舍掉不符合的范围就ok了。