已知函数fx=4lnx+x∧2-ax，a属于实数，1.当a等于6时，求函数fx的单调区间，2.若

Question

数fx有两个极值点x1，x2，且x1属于（0，1]，求证:fx1-fx2≥3-4ln2

Answer 1

（1）f(x)=4lnx+x^2-6x 定义域为x>0
f'(x)=4/x+2x-6=2(x^2-3x+2)/x=2(x-1)(x-2)/x
当f'(x)>0时，2(x-1)(x-2)x>0，0<x<1或x>2
所以当0<x<1或x>2时，f(x)单调递增；当1<x<2时，f(x)单调递减
（2）f(x)=4lnx+x^2-ax
f'(x)=4/x+2x-a=0
x^2-a/2*x+2=0
(x-a/4)^2=(a^2-32)/16
x=a/4±√(a^2-32)/4
因为0<x1<=1，所以0<a/4-√(a^2-32)/4<=1
0<a-√(a^2-32)<=4
a-4<=√(a^2-32)<a
a^2-8a+16<=a^2-32<a^2
8a>=48
a>=6
a/4+√(a^2-32)/4>=2
即0<x1<=1 x2>=2
所以f(x1)-f(x2)=4lnx1+x1^2-ax1-4lnx2-x2^2+ax2
=4ln(x1/x2)+(x1+x2)(x1-x2)-a(x1-x2)
>=4ln(1/2)+(a/2-a)*[-√(a^2-32)/2]
=-4ln2+a√(a^2-32)/4
>=-4ln2+6*√(36-32)/4
=3-4ln2