在正三棱锥 （顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中， ,过 作与 分别交于 和 的截面，则截面

Question

在正三棱锥 （顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中， ,过 作与 分别交于 和 的截面，则截面 的周长的最小值是 ( ) A．9 B．10 C．11 D．12

Answer 1

C

分析：利用正三棱锥P-ABC的侧面展开图，即可将求△ADE的周长的最小值问题转化为求展开图中线段的长的问题，进而在三角形中利用解三角形的知识计算即可 此正三棱锥的侧面展开图如图：则△ADE的周长为AD+DE+EA′，由于两点之间线段最短， ∴当D、E处于如图位置时，截面△ADE的周长最小，即为AA′的长 设∠APB=α，过P作PO⊥AA′，则O为AA′中点，∠APO= ， 在等腰三角形PAB中，sin = = ，cos = ∴cosα=1-2sin 2 = ，sinα=2sin ?cos = ∴sin =sin（α+ ）=sinαcos +cosαsin = × + × = ∴AA′=2AO=2AP×sin =16× =11 故选C