为什么定积分求体积V=π∫(b,a)f(x)2dx

Question

如题所述

Answer 1

简单一点的想像：πR²是圆的面积，圆柱体积就是圆面积乘以高。
对于曲线f(x)绕轴旋转，你可以想像把它切割成一层一层的圆(半径R相当于f(X)) 高就是定积分上下限的差。 V=π∫(b,a)f(x)^2dx 这样想就记牢这个公式了。追问

V=π∫(b,a)f(x)^2dx 有什么几何意义吗

追答

在区间[b, a]内, f(x)旋转一周所得旋转体的体积，在x (b < x < a)处，该旋转体的截面半径为f(x), 截面积为πf²(x), 体积=π∫(b,a)f²(x)dx

追问

为什么要表示成V=π∫(b,a)f(x)^2dx

追答

取[b，a]上分割N多层，a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，取ζi∈[xi-1，xi〕，记Δxi＝xi－xi-1，每一层的半径r=f(Xi)绕x轴一圈是圆。小圆柱体积为π*f²(Xi)*△Xi，然后求和，根据定积分的定义得出表达式~~

这个便是定积分的概念：对于定义在[a，b〕上的函数y＝f（x），作分划a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，若存在一个与分划及ζi∈[xi-1，xi〕的取法都无关的常数I，使得,其中则称I为f（x）在[a，b〕上的定积分，表为即 称[a，b〕为积分区间，f（x）为被积函数，a，b分别称为积分的上限和下限。当f（x）的原函数存在时，定积分的计算可转化为求f（x）的不定积分：这是c牛顿莱布尼兹公式。