可导函数一定连续吗？

Question

如题所述

Answer 1

楼上的错误太低级，函数可导只能推出连续，不可能推出导函数也连续。

如果函数f(x)在某开区间上可导，那么其导函数在这个区间上没有跳跃型间断点，这是由导函数的介值性质(即Darboux定理)得到的。

假定x0是f'(x)的跳跃型间断点，比如a=f'(x0-)<f'(x0+)=b，
取x0充分小的邻域(x0-d,x0+d)，使得当0<t<d时总有f'(x0-t)<(b+2a)/3 < (a+2b)/3 < f'(x0+t)，
这样在x0的局部f'(x)将不可能取到(a+b)/2附近的值，和Darboux定理矛盾。

当然，对于导函数的间断点，最好讲得严谨一些，不然是可以找出跳跃间断点的例子的。
比如说，|x|的导函数，虽然x=0处不可导，但如果不讲清楚的话在讨论导函数的时候可以认为x=0是一个跳跃间断点。