计算下面这道高数题目！

Question

如题所述

Answer 1

因为f(x)连续，等式两边同时对x进行求导可得
f'(x)=e^x-∫[0→x] f(t)dt
再次对上式求导得
f''(x)=e^x-f(x)
得到一个二阶非齐次线性方程f''(x)+f(x)=e^x
(1)首先求出齐次方程f''(x)+f(x)=0的通解
特征根方程λ²+1=0，得λ1=i，λ2=-i
得到齐次通解y=C1cosx+C2sinx (C1、C2为任意实常数)
(2)再求非齐次方程f''(x)+f(x)=e^x特解y*
运用微分算子D=d/dx，则原式变为(D²+1)y*=e^x
则y*=1/(D²+1) e^x=(e^x)/(1²+1)=(e^x)/2

综合上述：f(x)=y+y*=C1cosx+C2sinx+(e^x)/2 (C1、C2为任意实常数)

Answer 2

两边两次求导，得：
f''(x)+f(x)=e^x
所以f(x)=½e^x

Answer 3

两边同时求导 再用一介线性方程