高中数学，函数

Question

问题1：是否存在实数a,使得关于x的不等式lnx<a（x-1）在（1,+无穷）上恒成立？为什么不可以把x-1除到左边（这样就无解了），但答案是a>=1。

问题2：已知函数f(x)=ax+a/x-3lnx，若f(x)在(1,e]上为单调函数，求实数a的取值范围.求详解

Answer 1

第一题，你的做法不能算错，只是这个题不适合，分离参数是方便，但是x=1时，分子分母都为0比不出了，这种题不能用分参（学了极限其实那个比值是求得出来的）

 

 

 

第二题，求导后直接分参转化为恒成立问题即可，不懂再问。

Answer 2

问题1：是否存在实数a,使得关于x的不等式lnx<a(x-1)在(1,+∞)上恒成立？
解：设f(x)=lnx-a(x-1)；令f '(x)=(1/x)-a=(1-ax)/x=-a(x-1/a)/x=0，得驻点x=1/a；当x≦1/a时f '(x)≧0
当x>1/a时f '(x)≦0；故x=1/a是极大点；极大值f(x)=f(1/a)=ln(1/a)-a(1/a-1)=-lna-1+a；
0<x≦1/a时f(x)单调增；1/a≦x<+∞时f(x)单调减。由于对任何a，恒有f(1)=0，为使f(x)=lnx-a(x-1)<0在(1，,+∞)上恒成立，故只需0<1/a≦1，即a≧1就可以了。
[为什么不可以把x-1除到左边？不是不可以，而是除到左边后不好求解。因为这时不等式变为
(lnx)/(x-1)<a；为解出此不等式，必须求出g(x)=(lnx)/(x-1)的最大值，并使这个最大值<a；然而求导
后得到g'(x)=[(x-1)/x-lnx]/(x-1)²=(x-1-xlnx)/(x-1)²；令g'(x)=0，得x-1-xlnx=0，这是一个超越方程，只
能作数值近似解。准确的驻点出不来。]
问题2：已知函数f(x)=ax+a/x-3lnx，若f(x)在(1,e]上为单调函数，求实数a的取值范围.
解：f '(x)=a-(a/x²)-3/x=(ax²-3x-a)/x²，为使f(x)在(1,e]上为单调函数应使二次函数g(x)=ax²-3x-a在
(1，e]上不变号。又由于对任何a都有g(1)=-3<0，故应取g(e)=ae²-3e-a≦0，由此解得a≦3e/(e²-1)
即(-∞，3e/(e²-1)]就是a的取值范围本回答被提问者采纳

Answer 3

1、可以画图。
y=lnx 恒过（1，0）点。
y= a（x-1）为斜率为a、恒过（1，0）点的直线。
欲使lnx<a（x-1）在（1,+无穷）上恒成立，由函数图象可知，及要求直线斜率>= y=lnx的斜率
即，a>= 1/x (x=1)=1
2、f'(x)=a-a/x²-3/x

令t=1/x (1/e <=t<1) f(t)=a-3t-at² 即在1/e <=t<1恒为非负 或 恒为 非正。