在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式（Taylor's formula） 泰勒中值定理：若函数f(x)在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)
麦克劳林展开式
：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1。 证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1) 由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<θ<1。
麦克劳林展开式的应用
： 1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。 解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx…… 于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0…… 最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。） 类似地，可以展开y=cosx。 2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。 解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项： e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n! 当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n! 取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。 3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位） 证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。^n+Rn(x) 其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1)，这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x。的相乘。）
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