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求微分方程满足初始条件的特解。y''+4y=sinx,y|x=0=y'|x=0=1 答案是y=1
求微分方程满足初始条件的特解。y''+4y=sinx,y|x=0=y'|x=0=1 答案是y=1/3(sin2x+sinx)+cos2x.
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推荐答案 2019-04-28
y''+4y=sinx
特征方程
r^2+4=0
r=±2i
齐次方程通解为
y=C1cos2x+C2sin2x
设特解为y=asinx+bcosx
y'=acosx-bsinx
y''=-asinx-bcosx
代入原方程得
-asinx-bcosx+4(asinx+bcosx)=sinx
比较系数得
4a-a=3a=1
4b-b=3b=0
a=1/3
b=0
特解为y=(1/3)sinx
所以通解为
y=C1cos2x+C2sin2x+(1/3)sinx
( y'=-2C1sin2x+2C2cos2x+(1/3)cosx )
y|x=0=1
y'|x=0=1
所以:
C1cos0+C2sin0+(1/3)sin0=1
-2C1sin0+2C2cos0+(1/3)cos0=1
所以:
C1+0=1
2C2+(1/3)=1
所以:
C1=1
C2=1/3
特解:
y=cos2x+(1/3)sin2x+(1/3)sinx
即 :
y=1/3(sin2x+sinx)+cos2x
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2、求下列
微分方程满足初始条件的特解
:(3) y
,+y
/
x =sinx
y|x
...
答:
=-cosx+sinx/x+C/x ∵当x=π时,y=1 代入得 1=1+C/π ==>C=0 ∴y=-cosx+sinx/x 故
微分方程满足初始条件的特解是y=
-cosx+sinx/x.
求微分方程y
''
+4y=sinx
cosx y(0)
=0,y
'(0)=0
答:
解:∵y''
+4y=0
的特征方程是r²+4=0,则r=±2i ∴齐次
方程y
''+4y=0的通解是y=C1sin(2x)+C2cos(2x)(C1,C2是积分常数)设原
微分方程的特解是y=
Axsin(2x)+Bxcos(2x)(A,B待定)把
y,y
',y''代入原方程得4Acos(2x)-4Bsin(2x)
=sin
(2x)/2 (中间过程自己做)==>4A=0,-4B...
求微分方程y
''
+4y=sinx
cosx y(0)
=0,y
'(0)=0
答:
解:∵齐次
方程y
“
+4y=0
的特征方程是r^2+4=0,则r=±2i(复数根)∴此齐次
方程的
通解
是y=
c1cos(2x)+c2sin(2x)(c1,c2是常数)∵设原方程的解为y=acosx+b
sinx,
代入原方程化简得 3acosx+3bsin
x=sinx
+cos
x ==
>3a=3b=1 ==>a=b=1/3 ∴y=(cosx+sinx)/3是原方程的一个特解 故...
2、求下列
微分方程满足初始条件的特解
: (3) y
,+y
/x
=sinx
y|x=
π...
答:
解:(常数变易法)先解齐次
方程y
'+y/x=0的通解,∵y'+y/
x=0 =
=>dy/y=-dx/x ==>ln│y│=-ln│x│+ln│C│ (C是积分常数)==>y=C/x ∴齐次
方程的
通解
是y=
C/x。于是,设原方程的通解为y=C(x)/x (C(x)是关于x的函数)代入原方程得C'(x)/
x=sinx ==
>C'(x)
=xsinx
...
求y
''
+4y=
3
sinx
的通解
答:
因r=±i(等号右边的sinx相当于e^ix,即特征根r=i.)不是特征方程根。齐次
方程y
''
+4y=0
的通解为:y=C1cos2x+C2sin2x 设特解为:y=asinx+bcosx y'=acosx-bsinx;y''=-acosx-bsinx 代入原方程得:-acosx-bsinx+4(asinx+bcosx)=3sinx 比较系数得:a
=1,
b=2 特解为:
y=sinx
所以...
2、求下列
微分方程满足初始条件的特解
: (1)
1+y
2-
xy
y′
=0,y|x=1=0
...
答:
①去括号 5x-25=3x+5 ②移向 5x-3x=5+25 ③合并同类项 2x=30 ④系数化为
一
x=
15 你的串号我已经记下,采纳后我会帮你制作
求微分方程满足
所给
初始条件的特解
第三题。。。
答:
==>ln│lny│=(1/2)[ln│(cosx-1)/(cosx+1)│]+ln│C│ ==>ln│lny│=ln│(1-cosx)/
sinx
│]+ln│C│ ==>lny=C(1-cosx)/sinx ∴y=e^[C(1-cosx)/sinx]∵y(π/2)=e ∴代入y=e^[C(1-cosx)/sinx],得C=1 故原
方程满足初始条件的特解是y=
e^[(1-cosx)/sinx]。
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