关于高数中洛必达法则一个使用疑问

Question

比如说x/x²（其中x趋于无穷小），我知道约简后是1/x，但是如果我直接用洛必达法则求的话，却是1/2x，请问这是为什么呢？？

Answer 1

表面上看来，好像矛盾，相差两倍。
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其实，并不矛盾。
1、极限是计算趋势，tendency，
A、如果这个趋势是一个固定值，就是必须、必然一样，
否则极限理论就出了大问题；
B、如果这个趋势是0，那么无论用什么方法计算，如果
一种方法的结果是2x，另一种方法的结果是5x，都
不影响趋势是 0 的结论，彼此就不矛盾；
C、如果这个趋势是无穷大 infinity，一个是一倍无穷大，
一个是十倍的无穷大，它们仍然没有矛盾，共同的
趋势都是无穷大。
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2、楼主的问题，结论是正负无穷大，所以，并不矛盾；
如果 x 是趋向于一个具体的数字，它们就矛盾了。
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3、极限理论已经成熟了好几百年了，它是分水岭：
A、是古典数学跟当代数学的分水岭；
B、是初等数学跟高等数学的分水岭；
C、是西方数学跟东方数学的分水岭。
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加油！
我们对微积分理论、当代数学理论、科学理论、工程理论、
经济理论、、、、、，都没有贡献，未来的你们任重道远！追问

谢谢你回答的很详细！！！为了方便说明，假设A是含有x的表达式，A*x/(1+x)²，答案是先变形(A/x)*x²/(1+x)²，利用洛必达化简右边部分，所以我的疑问就是，如果我一开始就用洛必达的话就不对了，差了两倍。————所以想请教一下。描述得比较乱，将就看一下

追答

不好意思，没有明白你所说的“先变形”是什么意思？
1、若 A 是一个含有 x 的表达式，只要它的极限存在，就直接先算出来；
若不先算出来，直接运用罗毕达法则，也没有错，只是可能运算量
大一些而已。
2、若 A 的极限是无穷大，那就要看 Ax 是不是也趋向于无穷大，只要
是趋向于无穷大，而分母是趋向于无穷大的，所以，直接使用罗毕
达法则，也是正确的。不会出现两倍的事情。
你有具体题目吗？若有具体题目，请传上来，为帮你用几种方法解答一下。

追问

你好，麻烦了！请看图片，红笔所标记的就是我的疑惑之处：

追答

不可以先算：
如果先算 x/(1 + x²)，它的极限是0；
剩下来的 1/(½π - arctanx) 的极限是正无穷大。
这样的拆开计算是不合适的，是将一个有具体结果
的极限计算拆成类无穷小乘以无穷大型的不定式，
结果反而不定。

因式分解，只能分解出定式；也就是说先算的因式
必须有具体结果，而不是无穷小或无穷大先行计算。