如何判断周期函数和函数的奇偶性

Question

怎么判断一个函数是否为周期函数？怎么判断一个函数的奇偶性？可以举例说明哈~

Answer 1

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x 〕那么函数f(x)就叫做奇函数。
如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

例如：
正弦函数f(x)=sinx.
f(x)=sinx=sin(x+2π)=f(x+2π).所以是周期为2π的周期函数.
f(x)=sinx=-sin(-x)=-f(-x).所以是奇函数.
余弦函数f(x)=cosx.
f(x)=cosx=cos(x+2π)=f(x+2π).所以也是是周期为2π的周期函数.
f(x)=cosx=cos(-x)=f(-x).所以是偶函数.

Answer 2

一般地，对于函数f(x)

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

Answer 3

断一个函数是否为周期函数：
随自变量的变化 变量按一定得周期变化且属于某个固定区间的函数
如：y=sinx
判断一个函数的奇偶性
若f(-x)=f(x);为偶函数 如：y=x^2
f(-x)=f-(x)为奇函数 如 y=x