n元实二次型XAX是半正定的充分必要条件为它的标准形中n个系数全非负．

推荐答案 2023-12-15

【答案】：必要性因为n元实二次型X'AX是半正定的则由上题的结论可知二次型X'AX的正惯性指数p等于它的秩为r．又因为它的标准形中为0的系数个数为n一r．则系数为非负数的个数为p+n一r=p+n一p=n．充分性设系数为正的个数为p系数为零的个数为q则p+q=n由此可知正惯性指数p=n一q又因为其秩rank=n—q所以n元实二次型X'AX是半正定的．
必要性因为n元实二次型X'AX是半正定的,则由上题的结论可知,二次型X'AX的正惯性指数p等于它的秩为r．又因为它的标准形中为0的系数个数为n一r．则系数为非负数的个数为p+n一r=p+n一p=n．充分性设系数为正的个数为p,系数为零的个数为q,则p+q=n由此可知正惯性指数p=n一q,又因为其秩rank=n—q,所以n元实二次型X'AX是半正定的．

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